理工男看音樂——音樂里的力學和數學

　　一、交響樂隊里的振動

　　坐在音樂廳里欣賞交響樂。臺上的弦樂器、木管樂器、銅管樂器、打擊樂器發出不同音色的聲音，交混在一起沖擊聽眾的耳膜，使聽眾感受到音樂的巨大感染力。各種樂器的聲音來自不同類型的振動，可做一下分類：

　　打擊樂器：如定音鼓、木琴、鋼片琴都是自由振動，鋼琴和豎琴也是自由振動；

　　木管樂器：如長、短笛、單簧管、雙簧管、大管都是自激振動；

　　銅管樂器：如大、小號、圓號、長號也都是自激振動；

　　弦樂器：如小、中、大提琴，倍大提琴，撥奏時是自由振動，拉奏時是自激振動。

　　此外，弦樂器的腹板和音箱中的空氣受弦振動激勵產生的振動，以及木管和銅管樂器里的空氣柱受簧片或嘴唇振動激勵產生的振動，又都屬于受迫振動。由此可見，那環繞在音樂廳里的美妙音樂其實是各種類型振動的巧妙組合。

　　在中國的民族樂器中，鼓、磬、鐘、鑼、鼓等打擊樂器，琴、瑟、箏、琵琶、胡琴等弦樂器，簫、笛、管、笙、嗩吶等管樂器的發聲，也分別屬于各種類型的振動。

　　二、畢達哥拉斯的發現

　　人類對振動現象最早的科學探索就是從研究樂器發聲開始的。公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯(Pythagoras)是研究樂器發聲原理的先驅（圖1）。據說，畢達哥拉斯有一次被鐵匠鋪傳出的和諧悅耳的敲打鐵砧聲吸引了注意。為探尋優美的聲音里是否蘊藏著未知的數學奧秘，他經過仔細的觀察發現，原來小鐵砧與大鐵砧的體積之間滿足1:2或2:3等簡單的整數比。當鐵砧的體積之間存在這種整數比例關系時，發出的聲音就十分和諧。弦樂器和管樂器的發聲也同樣如此，當弦線的長度之間或管樂器的長度之間滿足簡單的整數比例時，便能產生出和諧的聲音。

　　畢達哥拉斯又通過實驗發現，弦線的振動頻率與弦線的長度成反比關系。按照整數比例調整琴弦的長度，聲音的頻率之間也滿足整數比例。比如將手指按在琴弦的中點使長度縮短一倍，頻率就增加一倍。發出的聲音恰好是空弦的高八度音，聽覺上最為和諧。小提琴演奏的“泛音”技巧就是輕按空弦中點，以產生透明純真的聲音效果。弦長每縮短1/3，發出聲音的頻率就升高五度。也就是小提琴相鄰空弦之間的五度音程。演奏者在調音時，往往根據對和諧程度的感覺來判斷五度音程的準確程度。

　　圖1研究音樂的畢達哥拉斯

　　弦線的振動也曾在16世紀引起伽利略的興趣。當他在比薩大教堂里思考吊燈擺動的周期是否與擺動幅度無關的問題時，作為有經驗的詩琴（一種古老的撥弦樂器）演奏者，他也注意到琴弦振動與擺的類似之處。當琴弦上發出的聲音逐漸變弱，振幅減小時，它發出的音調依然不變。于是，從另一個側面驗證了擺的等時性。

　　比畢達哥拉斯更早些的年代，即我國春秋中期，管仲撰寫的《管子·地員篇》中，已對上述弦線振動的規律有更早的認識（圖2）。他提出的“三分損益律”是我國，也是世界上最早的音律學文獻，將在后文中敘述。

　　三、弦樂器的發聲

　　作為一種古老的樂器，弦的振動可能是人類對于振動現象最早的認識和利用。《詩經》中有詩句曰：“窈窕淑女，琴瑟友之”。說明早在三千多年以前我國就已有了利用弦振動發音的樂器—琴和瑟（圖3）。在西洋樂器里，鋼琴和豎琴是最具代表性的彈奏樂器。至于中國的琵琶，西方的吉他，形形色色的民間彈撥樂器更是不計其數。

　　弦樂器的彈撥發音是典型的自由振動。1713年，英國數學家泰勒(Taylor,B)導出了弦振動的固有頻率公式：

　　其中，序號i表示頻率的階數，fi為弦的第i階振動頻率。ρ、S、l、F依次表示弦的密度、截面積、長度和張力。因此，弦愈細、愈輕、愈短，張弦的拉力愈緊、發出聲音的頻率就愈高。反之，愈粗、愈重、愈長和張力愈松的弦，發聲的頻率就愈低。對同一根弦，依靠弦軸的松緊可以對空弦的音調進行調整。當琴弦的質地和張力都確定以后，音調就隨琴弦長度而改變。調音結束后，演奏者利用手指在弦上的運動不斷改變弦的長度，就能演奏出動聽的音樂。觀察豎琴和鋼琴中琴弦的排列次序，也能看出弦的頻率與長度粗細之間的對應關系。

　　弦樂器不僅能靠彈撥發音，也能用琴弓在弦上來回摩擦發音，我國最常見的拉奏弦樂器是胡琴（圖4）。胡琴原是北方少數民族的樂器，唐代傳入中原，故稱為胡琴。西洋樂器中的小提琴和大提琴等，是和胡琴相似的弦樂器（圖5）。提琴的4根弦分得很開，既能拉奏(arco)也能撥奏(pizzicato)。胡琴也能撥奏，不過因為兩根弦過于靠近，撥奏不如提琴方便。

　　既然弦樂器可以撥奏也能拉奏，于是產生一個疑問：同一根弦和同一個指位，不同演奏方法發出的聲音是同一個音調嗎？演奏者對此似乎并不在意。但從力學觀點分析，兩種演奏方法的發音確實存在差異。與撥奏的自由振動不同，拉奏屬于干摩擦自激振動（圖6）。兩種振動的性質截然不同，撥弦的頻率就是弦的固有頻率；拉奏的頻率與撥弦頻率接近，但不完全相同。

　　將琴弦簡化成彈簧－滑塊系統（圖6），琴弓與琴弦之間存在干摩擦力。摩擦力的影響可以改變振動頻率。根據振動力學的分析，受黏性摩擦作用的彈簧－滑塊系統的固有頻率小于無摩擦情形的固有頻率。拉奏時琴弓對琴弦的干摩擦遠大于撥奏時琴弦自由振動時的空氣阻尼，利用耗散能量相同的黏性摩擦可以等效地替代干摩擦[1]。等效的黏性摩擦系數為

　　其中，μ是庫倫摩擦因數，ωn是琴弦的固有頻率，FN和A分別是弓對琴弦的正壓力和琴弦振動的幅度。

　　當琴弓借助摩擦力咬住琴弦一起向右運動時，琴弦被琴弓帶動作單方向的勻速運動。隨著彈簧變形的增大，彈性恢復力不斷增長。當琴弦移動到一定程度，彈性恢復力足以克服靜摩擦力時，琴弦即被迫脫離琴弓向左滑動，起先在彈簧恢復力作用下加速，超過平衡位置后開始減速，直到相對速度減到等于零時，琴弦再次被琴弓咬住向右運動。因此，琴弦的干摩擦自激振動可分為兩個階段：被琴弓帶動的勻速運動和脫離琴弓在常值摩擦力作用下的簡諧振動。自激振動的極限環也由相應的兩部分組成（圖7），圖中因勻速運動出現的捷徑PQ勢必改變振動的周期。因此，嚴格說來弦樂器的撥奏和拉奏發出聲音的頻率并不相同，不過差異可能不大，以至于演奏者和聆聽者僅憑聽覺未能覺察到而已。

　　細弦發出的聲音很微弱。要使弦樂器發出足夠響亮優美的聲音，單靠弦的振動是不夠的。所有的弦樂器都有音箱，以小提琴為例，弦的振動經過琴橋傳遞到音箱的面板，又經過音柱傳遞到背板，使兩塊板都產生受迫振動，進而使音箱內的空氣也一同振動。多種形式振動的綜合，最終才能形成美妙的樂聲。

　　在小提琴的制造工藝中，面板和背板的質量是非常關鍵的因素，對木材的品種、花紋和干燥程度都有嚴格要求。18世紀德國的物理學家，同時也是一位音樂家的克拉尼(Chladni,E.)對薄板振動模態的圖形懷有特殊興趣（圖8）。他將細沙撒在薄板上，用小提琴的琴弓摩擦板的邊緣，使板產生駐波形式的振動（圖9）。板上的細沙在振幅最大的波腹附近，因上下跳動而不可能保持在原地逗留，只有在振幅為零的波節處才有細沙的聚集。因此，細沙所形成的圖案就描繪出薄板二維振動的節線，稱為克拉尼圖形(圖10)。于是原來用肉眼難以分辨的振動形態就能以克拉尼圖形直觀地展現出來，成為檢驗和研究樂器聲學效果的有效方法。

　　四、管樂器的發聲

　　利用木管或銅管內的空氣振動發音的樂器稱為管樂器。人類在石器時期就會制造最原始的管樂器，如7000多年前，浙江河姆渡遺址曾發現多個禽骨制成的骨哨；我國的先民還會燒制陶笛和陶塤；到夏商時期，陶塤已從單音孔發展為多音孔（圖11）；戰國初期的曾侯乙墓出土的竹笛已有完整的七聲音階。這種發源于南方的楚笛和漢唐時期北方從西域引進的羌笛，是我國最古老的竹笛樂器。

　　19世紀德國物理學家亥姆霍茲(Von Helmholtz,H.)設計了一個以他命名的共鳴器（圖12）。共鳴器是一個帶細頸的容器，細頸內空氣柱的固有頻率f取決于細頸的長度l、直徑d和容器的體積V（圖13）。被測量的聲波使頸內的空氣柱產生受迫振動，并激起容器內空氣的共鳴。當聲波頻率與空氣柱的固有頻率一致時，便產生共振發出聲音。亥姆霍茲共鳴器可視為木管和銅管樂器的簡化模型，都是利用管內空氣柱的振動發出聲音。利用開管空氣柱的計算公式：

　　表明空氣柱的振動頻率f與長度l成反比，其中c為聲速。這種比例關系與弦振動頻率與長度的關系類似，都是通過改變長度調節振動的頻率。

　　要使空氣柱的振動延續不斷，就必須有持續的激勵。以雙簧管為例，當氣流通過簧片間狹窄的間隙時，就會對簧片產生氣動力使簧片運動，簧片的位移改變了間隙的寬度也改變了氣動力，簧片就會在彈性力作用下恢復原位。如此周而復始，恒定的氣流能源就在簧片自身運動的控制下間歇地向簧片輸送，形成不衰減的自激振動。銅管樂器沒有簧片，而是依靠緊貼號嘴的雙唇作與簧片類似的自激振動。

　　與此不同，笛、蕭、塤等樂器的自激振動來自“邊棱音”(edge tone)現象。當氣流從小孔射出，前方遇到尖劈形物體的阻擋時，氣流被迫沿尖劈兩側流動，產生不對稱的一系列渦旋，即所謂“卡門渦街”，引起振動。振動的頻率與氣流速度成正比，與氣流至尖劈的距離成反比（圖14）。

　　不同形式的自激振動導致各種管樂器的空管或空腔內的氣體做受迫振動，持續發出聲音（圖15）。

　　五、樂器的音色

　　振動物體的所有固有頻率fi(i=1,2,)中，i=1的最低階頻率稱為基頻，是最重要的固有頻率，因為頻率愈高的振動所占的成分愈小。

　　不同的樂器發出的聲音各有不同的特色。比如小提琴和單簧管，即使演奏同一個音也能分辨出明顯的差異。原因是任何樂器發出的聲音并非純粹的簡諧振動，只有作為調音標準的音叉是少有的特例（圖16），敲擊一下音叉，產生的自由振動接近理想的簡諧振動，振動過程是時間的正弦或余弦函數，所發出的聲音可稱之為單一頻率的“純音”。但樂器的自由振動卻包含了不同頻率簡諧振動的組合，其中占主要成分的振動為基音，其頻率為基頻。若其余簡諧振動成分的頻率是基頻的整倍數，則稱為基音的泛音。任何樂器發出的聲音都是基音和各階泛音的組合，而不同的泛音組成便體現了各種樂器特有的音色。

　　正是由于基音和泛音的頻率之間存在畢達哥拉斯的整數比例關系，樂器才能發出基音和泛音相互和諧的優美聲音。如果將不同頻率的振動混合在一起，而頻率之間毫無規律可言，所產生的聲音就非常嘈雜刺耳而成為噪音。現代城市中的來往車輛和各種施工機械發出的噪音，已成為環境污染的重要來源。

　　六、三分損益律

　　研究音樂律式的學科稱為音律學(musical temperament)，是音樂學的重要組成部分。音律學的首要任務是建立音階，春秋中期管仲撰寫的《管子·地員篇》中提出的“三分損益律”是我國，也是世界上最早的音律學文獻。“三分損益律”的原文為：“凡將起五音凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無有三分而去其乘，適足以生商。有三分而復于其所，以是生羽。有三分去其乘，適足以是成角。”文中先定義“宮”音的弦長。將弦長增加三分之一稱為“三分而益之以一”，減少三分之一稱為“三分而去其乘”。陸續生成“徵、商、羽、角”。作為中國古代五聲音階的音調符號。對以上文字分句解釋如下：

　　“先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首以成宮。”

　　是指黃鐘宮音的弦長為34＝9×9＝81。

　　“三分而益之以一，為百有八，為徵。”

　　是指徵音的弦長為81×4/3＝108。

　　“不無有三分而去其乘，適足以生商。”

　　是指商音的弦長為108×2/3＝72。

　　“有三分而復于其所，以是生羽。”

　　是指羽音的弦長為72×4/3＝96。

　　“有三分去其乘，適足以是成角。”

　　是指角音的弦長為96×2/3＝64。

　　這5個音在表1中依其弦長大小排列為徵、羽、宮、商、角。構成一個以徵音為主音的五聲徵調音階。但三分損益律不能表示高八度的音，因為高八度音的弦長是原音弦長的一半，而三分損益律湊不出1/2分數。表1中括號內的英文字母是與西方音律學對等的音調符號。為便于分析，增加徵(G)音的高八度音，用徵*(G*)表示。其弦長定為原音的一半，即108×1/2=54。將相鄰兩個音的弦長之比表示二者的音程，依次排列在相鄰二音之間。

　　從五聲音階可以看出，徵羽之間、宮商之間、商角之間的音程都是9/8，稱為一個全音。而羽宮之間和角徵*之間有更大的音程32/27。為避免音階中出現太大的跳躍，在羽(A)和宮*(C*)之間插進一個B音，角(E)和徵(G)之間插進一個F音，令A、B之間和F、G之間的音程仍保持一個全音，即9/8。而B、C之間和E、F之間的音程為32/27除以9/8，等于256/243，比9/8小得多，稱為半音。于是五聲音階便演變成表2的七聲音階。為便于分析，表2中的宮*音即C*音對應的弦長取作1，其余各音的弦長均按比例作了調整。七聲音階最早記載于戰國后期的《呂氏春秋》，公元前5世紀古希臘的菲洛勞斯(Philolaus)殘卷中也有記載。七聲音階由于遵循了畢達哥拉斯簡單整數比的和諧規律，也稱為“畢達哥拉斯七聲音階”。

　　五聲音階演變為七聲音階，與目前的通用律制已十分接近。缺點是兩個半音的音程(256/243)2＝1.1098并不等于一個全音的音程9/8＝1.125，因此不宜將半音作為基本音程單位，而更理想的律制必須具有統一的基本音程單位。

　　在表2中，C音的弦長是高八度音C*音弦長的兩倍。如果將C音至C*音的音程按等比例關系劃分為12個相同的半音音程，則每個音程單位應等于(2)1/12=1.0595…。將(2)1/12作為音程的基本單位，從C至C*每隔(2)1/12設置一個音，除原來的7個音C、D、E、F、G、A、B以外，再插進#C、#D、#F、#G、#A，總共12個音形成的律制稱為“十二平均律”，顯然是更為合理的音律，如表3所示。但(2)1/12是一個無理數，因此十二平均律不同于按照三分損益律演變的七聲音階，各音的弦長之間也不滿足畢達哥拉斯的整數比例關系。但比較表3和表2，(2)1/12=1.0595與256/243＝1.0535之間，(2)1/6=1.1225與9/8=1.125之間雖有差別但非常接近，其相對誤差小到10-3量級，人耳已聽不出二者的差別。

　　現代鋼琴的琴鍵嚴格按照十二平均律排列。十二平均律的12個音相當于鋼琴的12個琴鍵，帶升記號“#”的音為黑鍵，其余為白鍵。每兩個相鄰琴鍵之間的音程，不分白鍵或黑鍵均為統一的半音。

　　公元前400年前，戰國時代制作的曾候乙編鐘由65枚大小不同的銅鐘組成，是迄今發現的最古老也是最完整的按十二平均律排列的樂器。能在5個半八度范圍內奏出完整的12個半音，與現代鋼琴的音域已非常接近（圖18）。

　　十二平均律作為理想音律的想法早在古希臘時期就已提出，但具體演繹計算工作到16世紀方有具體結果。1584年，即明朝萬歷十二年，皇族出身的朱載堉在他撰寫的《律學新說》中首先完成了十二平均律基本音程單位的計算，比西方的梅森(Mersanne,M.)發表于1636年的著作提前了半個世紀。朱載堉利用《周髀算經》中關于圓方圖的研究，即圓周的外切正方形的邊長與內接正方形的邊長之比為(2)1/12的結果，建立以(2)1/12為公比的等比數列。如將1設為首項，則第12項為(2)1/2的12次方。如將公比(2)1/2改為(2)1/12，則第12項必等于2，即等于首項弦長的兩倍。因此以(2)1/12為基本音程單位確定的十二平均律如同每個臺階高度都相同的樓梯，無論從何處起步，音階均按照統一的規律周期性重復，作曲家和演奏家才有可能隨心所欲地自由變調。對此朱載堉有以下評論：“蓋十二律黃鐘為始，應鐘為終，終而復始，循環無端，此自然真理。”

　　十二平均律至今已通行了幾個世紀，成為國際通用的律制。這種理想律制的創建是自然科學史和音樂史中的重大事件，也是古代中國對人類的重大貢獻。

　　參考文獻：

　　[1]武際可.音樂中的科學，北京，高等教育出版社，2012

　　[2]劉延柱，陳立群，陳文良.振動力學（第二版）.北京，高等教育出版社，2011

　　[3]程貞一.黃鐘大呂，中國古代和十六世紀聲學成就.上海，上海科技教育出版社，2007

　　[4]戴念祖.朱載堉－明代的科學和藝術巨星.北京，人民出版社，1986

　　（原文注：改寫自劉延柱.趣味振動力學，第11章.高等教育出版社，2012）

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