音樂與數學密不可分 它們為人類開啟智慧之門

　　數學和音樂都是極美的，正如愛因斯坦所說：“這個世界是由音樂的音符組成的，也是由數學公式組成的。音符加數學公式，就是真正完整的世界。”

　　自從人類誕生于這顆蔚藍色的星球，數學與音樂就已經根植于人類的大腦，成為人類認識和探索無窮宇宙的有利武器。在這個世界上，由于人類的語言千奇百怪而難以交流，唯有數學和音樂，無論來自于地球哪個角落的人們，總是可以心領神會。然而，數學與音樂的關系有多重要？它們共同為人類開啟了智慧之門。

　　在人類文明的進程中，音樂和數學幾乎是同時誕生并且相互滲透的。在很早以前，所有的學科被統稱為“七藝”。而“七藝”分為“三科”和“四學”。用今天的眼光來看，“三科”中的文法、修辭、辯證法類似于“文科”，而“四學”中的算數、幾何、天文、音樂則偏重于“理科”。很明顯，在那個遙遠的時代，音樂是被當成“理科”來看待的。事實上，早期的古希臘包括中世紀時期的作曲家和理論家，都是被當作科學家來看待的。早期的音樂被分為兩類，一種是純粹的音樂理論，另一種則是表演方法，音樂的純理論方面則幾乎與數學重合。

　　音樂與數學有著密不可分的關系，比如古希臘的畢達哥拉斯學派時期的“五度相生律”，充分地利用了那個時期所有的數學工具：有理數和分數。在絕大多數情況下，如果兩個聲音的頻率的比接近于簡單的整數比1：1和1：2，那么這樣的聲音便會非常動聽。當然，如果只使用以上這兩個簡單的“比值”，音樂無疑會顯得很單調。于是人們又采用了2/3的比例，先取某個長度的琴弦作為基準記作C音，然后剪掉C音的1/3，就得到了G音；然后再延長G音的1/3，就得到了D音；再剪掉D的1/3，就得到了A音；再延長A的1/3，就得到了E音；再剪掉E音的1/3，就得到了B音。

　　這樣每次剪短都是“純五度”，而每次延長都是“純四度”，新生成的5個音，連通最初的C音，相鄰兩個的頻率比例都是9/8，而且B音和下一個C音的頻率比例是256/243，相當相鄰音的“比值”9/8的一半，但是E和G之間缺一個音，那就給下一個C延長一半， 就得到了F音，而F音與G音的弦長比例也是9/8，與E音的比例也是256/243。

　　通過這種構造方法，人們就得到了最初的“七個音階”，也就是今天我們所見到的鋼琴上的白鍵。后來人們發現這種聲音的頻率比值的關系不僅可以應用于弦樂器的弦長，還可以應用于管樂器的“氣柱”長，所以人們通過“打孔”的方法，制作出了各種豐富多彩的樂器。

　　無獨有偶，我們的祖先也在很早以前利用這種比值的關系，通過給竹管加上1/3或者減去1/3的方法，這就是我們通常所說的“三分損益法”，由此得到宮、商、角、徵、羽等音。

　　我國古代著名的音樂家朱載堉，早在萬歷十二年就用算盤精確地計算出了2的12次方根的25位小數，推出了全新的“十二平均律”。后經意大利傳教士利瑪竇介紹給了法國著名的數學家梅森，給歐洲音樂帶來了深刻的影響。大音樂家巴赫正是在此影響下，創作出了令人嘆為觀止的“賦格”與“卡農”。巴赫在他的作品中所使用的各種“復調”手法，比如對主題的“倒影”、“逆行”等技法的應用，本質上都是以“數學邏輯”為基礎推導出來的。因而愛因斯坦評價巴赫的音樂具有一種數學上的美感。比如最為著名的“螃蟹卡農”，當我們將譜子倒過來演奏時，發現它依然不失為一首美妙的曲子，這不得不令人拍案叫絕。

　　巴赫之所以能夠在音樂上取得如此偉大的成就，完全得益于巴赫在業余時間喜歡研讀萊布尼茨的數學著作而被萊布尼茨的數學思想所深刻地影響。

　　在人類文明的進程當中，受音樂和數學同時深刻影響的偉大學者數不勝數。在1739年，歐拉寫下了《音樂新理論的嘗試》，他試圖把數學和音樂結合起來，有人稱該書是一部專門為“精通數學的音樂家”和“精通音樂的數學家”而寫的著作。

　　在19世紀，數學家傅里葉證明了任何“周期函數”都可以寫成“正弦函數”的“和”，當人們發現聲波正是一種“周期函數”之后，將聲音的“音量”、“音調”、“音色”分別對應“正弦函數”的“振幅”、“頻率”和分解得到的“正弦函數序列”。后來人們發現，人類的耳朵具有非常奇妙的功能：他自帶“傅里葉變換功能”，能夠將聲波所構成的“周期函數”經過“傅里葉變換”后轉化成生物電信號傳遞給大腦，給人帶來愉悅地享受。

　　根據這個原理，人們就可以利用“傅里葉變換”調制出一些聲音來欺騙耳朵，事實上我們今天在網絡上聽到的各種樂器的聲音，大部分都是用“數學理論”和“算法”調制出來的，有的音色甚至達到了以假亂真的效果。

　　數學在音樂中的應用可謂數不勝數，比如將音樂高潮放在“黃金分割點”上，比如對1、3、5（do、mi、sol）進行全排列，可以得到所有“原位”和“轉位和弦”的“上行”和“下行”，這樣的例子不勝枚舉。總而言之，音樂與數學的關系正如萊布尼茨的名言所說：“音樂是數學在靈魂中無意識的運算。”

　　在今天，數學與音樂的關系變得越來越緊密，人們也越來越重視左腦與右腦的開發，越來越重視人的藝術與科學素養的全面發展。比如今年文科數學的高考題“鋼琴鍵盤”給人耳目一新的感覺，該題的精彩之處在于，如果你對數學很精通，你就可以用數學的方法去解答。如果你對音樂很了解，那你也可以用音樂的方法去解答。這似乎正好符合了愛因斯坦的這句話：“這個世界是由音樂的音符組成的，也是由數學公式組成的。”人們可以選擇自己最擅長的數學或音樂的方法去認識和探究未知的世界。

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